Rechnen mit der Logarithmentafel

Geschirrspüler, Saugroboter, Waschmaschine ... diese und andere technische Gerät unterstützen uns bei den Aufgaben des Alltags. Gleiches gilt auch für das Rechnen: Schon bei einfachen Multiplikationsaufgaben greift man zum Taschenrechner, und das früher gefürchtete "Ausziehen der Quadratwurzel" ist heute nur noch ein Tastendruck. Allerdings gibt es Taschenrechner noch gar nicht so lange: Das erste Gerät kam um 1972 auf den Markt. Zwar nutzte man auch vor 1970 bereits "Elektronenrechner", aber diese waren sehr groß und sehr teuer (wie etwa die Zuse Z23, zu sehen in der Informatik-Sammlung Erlangen ISER). Geht man in der Zeit noch weiter zurück, dann bleibt neben dem Rechenstab (empfehlenswert: die interaktive Nachbildung des ARISTO-Scholar 0903 von Arndt Brünner) und den mechanischen Rechenmaschinen (siehe z.B. www.rechenautomat.de) nur noch die Logarithmentafel als Rechenhilfsmittel:
Mit der Logarithmentafel konnte man selbst komplizierte Rechenprobleme relativ einfach lösen. Als Beispiel soll im folgenden eine Kiste mit den Abmessungen \(32{,}5\times 24{,}5\times 16\) cm durch eine inhaltsgleiche Kiste mit quadratischer Grundfläche und der Höhe \(13{,}5\) cm ersetzt werden.
Zu berechnen ist die Seite \(a\) der quadratischen Grundfläche. Die Kiste hat das Volumen \(V=32{,}5\cdot 24{,}5\cdot 16\), und die Grundfläche der neuen Kiste ist \(A=\frac{V}{13{,}5}\). Die gesuchte Seite der Kiste hat demnach die Länge \(a = \sqrt{A}\).

Insgesamt ist also die folgende Rechnung auszuführen: $$a = \sqrt{\frac{32{,}5\cdot 24{,}5\cdot 16}{13{,}5}}$$ Wie berechnet man diesen Wert ohne Taschenrechner? Bei der Arbeit mit der Logarithmentafel führt man Multiplikationen, Divisionen und Quadratwurzeln auf Additionen, Subtraktionen und Halbierungen von (Log-)Werten zurück. Mit den Rechengesetzen für Logarithmen zerlegt man zuerst $$ \lg\sqrt{\frac{32,5\cdot 24,5\cdot 16}{13,5}} = \frac{1}{2}\cdot\lg\frac{32,5\cdot 24,5\cdot 16}{13,5} = \tfrac{1}{2}\cdot\left(\lg 32{,}5 + \lg 24{,}5 + \lg 16 - \lg 13{,}5\right) $$ Hierbei steht \(\lg\) für den sog. dekadischen Logarithmus, also den Logarithmus zur Basis \(10\), welcher früher häufig für Berechnungen verwendet wurde. Die Einzelwerte entnimmt man einer Logarithmentafel (← bitte anklicken):

\(\lg 32{,}5\)=\(1{,}51188\)
\(\lg 24{,}5\)=\(1{,}38917\)
\(\lg 16 \)=\(1{,}20412\)
Summe=\(4{,}10517\)
\(\lg 13{,}5\)=\(1{,}13033\)
Differenz=\(2{,}97484\)
halbieren=\(1{,}48742\)

Wir erhalten als Ergebnis \(\lg a = 1{,}48742\). Die \(1\) vor dem Komma entspricht einer Zahl zwischen \(10\) und \(100\). Zu den Nachkommastellen \(48742\), genannt Mantisse, finden wir wiederum in der Logarithmentafel den Numerus \(3072\). Beide Informationen zusammen ergeben den Wert \(a=30{,}72\) cm für die Grundseite der neuen Kiste.